to eat up one's food — доесть то, что на тарелке; съесть всё (что положено)
eat up your vegetables, there's a good girl! — будь умницей и доешь овощи!
eat up, children! — дети, не оставляйте ничего на тарелке!
2. есть с аппетитом
there is plenty for everyone, so eat up — еды хватит на всех, так что кушайте без стеснения
3. пожирать, снедать
curiosity was simply eating her up, she was simply eaten up by curiosity — её просто снедало любопытство, любопытство не давало ей покоя
4. разг.заглатывать, проглатывать
she is eating up the course in algebra — она быстро усваивает курс алгебры
they offered him the most absurd flattery, and he ate it up — они льстили ему самым чудовищным образом, а он принял всё за чистую монету /всё это проглотил/