I предик. разг.
О состоянии перехода в другое - обычно худшее, тяжёлое - состояние.
II предл. с род.
Употребляется при указании на крайнее - обычно негативное - состояние, которое может наступить.
чего-л. В непосредственной близости к переходу в другое (обычно худшее) состояние.
На грани войны, катастрофы.
На грани безумия.
Этот вид животных на грани исчезновения.